步进电机模拟器：失步与转子滞后角

控件

实验台在每次输入时都会把整段运动重跑一遍，所以曲线会跟着你拖动的滑块走，而不用等按下“开始”按钮。也没有什么东西需要开始——这段运动是 30 000 个积分步，你的指头还没挪回来它就算完了。

上图是位置：虚线是驱动认为轴所处的位置，实线是转子实际所处的位置。下图是两者之间的滞后角，稳定的 ±90° 区间做了阴影。

原理

步进电机并不“迈步”。驱动器以增量的方式旋转磁场，转子跟随着它，始终落后某个角度——而它产生的扭矩就是这个角度的正弦：

T = T_peak(ω) × sin(δ)

δ 以电角度度量。一台 1.8° 的电机有 50 个转子齿，因此它的磁路每转重复 50 次，一个整步恰好是 90 电角度。这个换算是整个专题里唯一的算术。

在 −90° 到 +90° 之间，电机相当于一根弹簧：落后越多，拉回力就越大。正是这个稳定区让开环步进电机得以工作，任何稳态负载都必须待在里面。越过 90° 之后正弦就翻转了，于是落后越多，产生的恢复扭矩反而越小，这又让它落得更远——到了 180°，扭矩彻底反向，开始朝下一个磁极拉。转子滑到下一个稳定齿，那是一个电周期——四个整步——之外。

这是两个不同的数字，实验台把它们分得很清楚。90° 是平衡终止的地方；短暂冲过它是可以承受的，这正是整步指令——每一步都是一次 90° 的冲击——不会毁掉机器的原因。180° 则是不可返回的临界点。

有三样东西会让滞后角增大：

• **负载。**在稳速下 sin(δ) = 需求 ÷ 可用。负载为可用扭矩的一半时，滞后角停在 30°，还留有 60° 的裕量。
• **加速度。**让转子动起来要从同一份预算里花掉扭矩，所以滞后在斜坡阶段最严重，而不是在高速段。
• 速度，因为 T_peak 本身会随电机转速提高而下降。

最后这一条最不显然。绕组是一个电感，电机转得越快，就越难把电流灌进去再逼出来——感抗随电频率上升，而转子自身旋转产生的反电动势又会吃掉电源电压。结果就是一条扭矩曲线：在拐点速度之前是平的，越过之后开始下滑，而这个拐点由电源电压决定。

这就引出了实验台存在的意义——让两条规则变得显而易见：更大的电流买到扭矩，更高的电压买到速度。

算法

转子是直接积分的。这段代码里没有任何东西去检测失步、去插入失步，甚至不知道失步是可能的——它是正弦定律积分之后的自然结果。

// per 20 us tick
const ideal    = sampleProfile(plan, time).position;         // mm the planner wants
const command  = Math.round(ideal * stepsPerMm) / stepsPerMm; // the driver only does whole microsteps
const lag      = rotorTeeth * (commandAngle - theta);         // electrical radians

const { torque } = peakTorque(setup, omega);                  // falls with speed
const friction   = loadTorque * Math.tanh(omega / 0.5);       // smooth Coulomb, one line
const accel      = (torque * Math.sin(lag) - friction - damping * omega) / inertia;

theta += omega * dt + 0.5 * accel * dt * dt;
omega += accel * dt;

有两处细节比看上去更重要。

**在转子看到指令之前，指令已经先被量化到细分栅格上了。**那道阶梯就是激励：整步运行时，每一条指令都是在阻尼极轻的共振点上施加的一次 90 电角度冲击，这正是整步电机啸叫而细分电机不叫的原因。

绕组模型决定了扭矩天花板：

const backEmf   = kT * speed;
const impedance = Math.hypot(resistance, rotorTeeth * speed * inductance);
const current   = Math.min(currentLimit, Math.max(0, supplyVolts - backEmf) / impedance);
const torque    = Math.SQRT2 * kT * current;

这是对斩波驱动器的集总稳态近似，而不是逐相仿真。它能复现真实扭矩曲线的形状，两个工程结论都算得对；只有在最高速端偏保守。

指令轨迹来自本站已有的运动曲线规划器，所以“带斜坡”和“不带斜坡”走的是同一条代码路径，只是加速度上限不同——并没有为失败单独写一条分支。

引导实验

每一个实验只隔离一个变量，其他什么都别动。

1. 斜坡就是整台机器。其他都保持默认值，把步进频率在斜坡和直全速之间来回切换。

同样的电机、同样的驱动器、同样的电流、同样的目标。唯一的区别是步进频率是否做了斜坡，而这两者之间的差别就是整段运动的差别。

2. 找出起动频率。设为直全速，然后从 100 mm/s 开始逐步提高最高速度。它能工作，能工作，然后在 200 mm/s 附近的某个地方彻底不工作了——而且不是逐渐劣化。那个阈值就是起动频率，它是真实电机上的真实数值。

3. 电压买到速度。加载12 V 电源、快速运行预设：运动会失速。现在把电源电压提到 24，保持限流不动，看着它跑完。然后退回 12 V，改用限流去救——救不回来。越过拐点速度之后，驱动器本来就没能达到设定电流。

4. 细分买不到精度。把其他都固定，把细分从 1/1 调到 1/16，读两个数：

跟踪精度改善了大约三倍，然后就停住了。负载误差一点没动。整步时它是 0.044 mm，十六细分数时它还是 0.044 mm——区别在于 0.044 mm 是四分之一个整步、同时又是三个半细分步，所以细分做细之后，同一个误差在驱动器所报告的单位下看起来要糟糕得多。

5. 失步。在速度设得不高的情况下，缓慢提高阻力矩。观察下图中的滞后角朝虚线攀升。它会先停在 30°，再到 50°，再到 70°——然后在滑块只加一小格的幅度里，同步就没了。之所以没有预警区，是因为 90° 之后已经不存在可供它稳定的平衡点。

7. 整步就是一次 90° 的冲击。加载整步运行预设，读出峰值滞后：约 102°e。每一步都指令完整的 90°，靠转子的惯性把它带过去。它仍然能到位——什么都没丢——但整段运动都在一个带载电机承受不起的区域里来回摆荡。这同时解释了为什么整步运行很吵，以及为什么它给负载留下的裕量如此之小。

6. 机构会改变问题本身。在其他都不动的情况下，把机构切换到 T8 丝杠。分辨率从 80 步/mm 变成 400 步/mm，同样的最高速度现在需要五倍的步进频率。

你应该观察到什么

• **失败是悬崖，不是斜坡。**没有任何渐进退化。滞后角平滑地增大到 90°，然后整段运动就凭空消失了。这就是步进电机与舵机式闭环之间最本质的区别——后者在负载下只会变慢。
• **机器永远不知道。**虚线的指令线总是精确地停在目标上，因为驱动器数过了它收到的每一个脉冲。只有实线才说真话，而真实机器上没有这条线。
• **负载误差永远存在。**即使在一次完美的运行中，转子也停在驱动器所说的位置之后几十微米处。这不是故障，而是 sin(δ) = 负载 ÷ 扭矩 所要求的。
• **丢失的步数永远是四的倍数。**你试试看能不能造出一个不是的数。

硬件落地

最重要的一条区别换个角度看是最后一行：**真实机器不会给你下图。**你看不到滞后角，因此也看不到自己运行在多大的裕量上。实际的替代办法是故意去找失效点——把速度和加速度加到轴开始跳步为止，然后回退 30% 到 50%，就稳定运行在这个位置。

可以从接线与限流实操开始，用尺子标定每毫米步数，然后在绘图机器人制作里把整套东西组装起来。

源代码

在真实机器上，斜坡不是可选项。下面这个阻塞版本就是多数人第一版草图的样子，也正是会发出嗡嗡声的那一个：

// What not to ship: the step rate jumps from zero to full.
void moveBlocking(long steps, unsigned delayUs) {
  for (long i = 0; i < steps; i++) {
    digitalWrite(STEP_PIN, HIGH);
    delayMicroseconds(2);
    digitalWrite(STEP_PIN, LOW);
    delayMicroseconds(delayUs);      // constant => no acceleration at all
  }
}

带斜坡的非阻塞版本。这就是实验台规划的同一个梯形曲线，逐步生成，这样单片机上的其他东西都不会被卡住：

#include <AccelStepper.h>

const float STEPS_PER_MM = 80.0;          // 20T GT2 pulley at 1/16 stepping
AccelStepper axis(AccelStepper::DRIVER, STEP_PIN, DIR_PIN);

void setup() {
  pinMode(EN_PIN, OUTPUT);
  digitalWrite(EN_PIN, LOW);              // active low: energise

  axis.setMaxSpeed(200 * STEPS_PER_MM);   // 200 mm/s
  axis.setAcceleration(2000 * STEPS_PER_MM);
}

void loop() {
  if (axis.distanceToGo() == 0) {
    axis.moveTo(axis.currentPosition() == 0 ? lround(60 * STEPS_PER_MM) : 0);
  }
  axis.run();                             // returns immediately — call it constantly
  checkEndstops();                        // which is only possible because it does
}

setMaxSpeed 和 setAcceleration 只会给你一条梯形曲线，仅此而已——AccelStepper 里没有 S 形曲线的选项。要做跃度受限曲线，就得自己生成设定点，并由定时器喂给 moveTo。

如果你想知道自己的机器是否已经接近极限，便宜的测试方法是重复性测试：

// Drive a long move out and back, N times, then check whether home moved.
// Anything other than a multiple of four full steps is not step loss.
for (int i = 0; i < 20; i++) { moveTo(LONG_MOVE); runToPosition(); moveTo(0); runToPosition(); }
// now re-home and compare the reported position against zero

假设与硬件差异

转子动力学是诚实的：扭矩正比于 sin(δ) 正是混合式步进电机的工作方式，而滑移行为是对它积分的必然结果，而不是写进代码里的某条规则。这些常数描述的是一台 17HS4401 级别的 NEMA 17——1.8°、1.7 A、2.8 Ω、3.2 mH、保持扭矩 0.44 N·m，轴上还带一个折算质量 300 g 的滑座。

模型做了哪些简化：绕组被集总为一个稳态阻抗和反电动势项，而不是逐相仿真，因此扭矩曲线最末端偏保守。定位转矩——你徒手转动一台不通电的步进电机时感觉到的那点齿槽感——没有建模，中频共振没有建模，驱动器的衰减模式行为没有建模，任何热效应也都没有建模。时序是理想的，因此真实单片机的步进抖动不会出现。

这些都不会改变该拧哪个旋钮。但它们全都是应该去验证一台真实机器、而不是直接相信这一页上某个数字的理由。

电路图

这里所建模的物理接线是：电机到驱动器四根线，驱动器到单片机两根线，外加一个人们总是漏掉的电容：

Arduino 5V  ──── VDD
Arduino GND ──── GND (logic) ──┬── GND (motor) ──── PSU −
PSU + (12–24 V) ──── VMOT ──┬──┴── 100 µF electrolytic, close to the board
Pin 3 ──── STEP             RESET ──┬── SLEEP
Pin 4 ──── DIR              MS1, MS2, MS3 ──── 5 V   (1/16)
Pin 5 ──── ENABLE (active low)
Coil A ──── 1A, 1B          Coil B ──── 2A, 2B

A4988 零件页上有完整的引脚定义、两种采样电阻版本的 Vref 对照表，以及那个电容为什么不能省。