每毫米步数：皮带、丝杠与分辨率

一个数，一个公式

步进驱动器数脉冲。你的机器以毫米移动。把两者换算起来的那个数是每毫米步数，而机器上其他每一项标定都依赖它是对的。

这个公式从不变：

steps/mm = (full steps per revolution × microstepping) ÷ travel per revolution

分子由电机和驱动器定死——一台 1.8° 电机在 1/16 微步下是 200 × 16 = 3200 微步每转，永远如此。分母是唯一依赖你机器的部分，而它是一个关于机械的问题：轴转一圈，轴走多远？

皮带

对齿形皮带来说，每转行程就是同步轮上的齿数乘以皮带节距。GT2 皮带节距 2 mm，而 20 齿同步轮几乎是每一台业余机器的默认选择：

travel  = 20 teeth × 2 mm = 40 mm per revolution
steps/mm = (200 × 16) ÷ 40 = 80

就是这个——每一台 3D 打印机 X、Y 配置里那个 80 步/mm。它不是一个神奇常数；它是 20 齿 GT2 配十六微步，而你如果装一颗 16 齿同步轮，它就变成 100。

注意 30 齿那一行除不整。53.333… 步/mm 完全合法——固件把它存成浮点并累积小数步——但这意味着没有任何一个位置会正好落在步进边界上，这也是大家都用那几种齿数的一个小理由。

丝杠

对丝杠来说，每转行程是导程——而导程不等于螺距。这是整个主题里最常见的错误。

• 螺距是相邻螺纹之间的距离。
• 导程是螺母转一圈走多远。
• 导程 = 螺距 × 头数。

单头丝杠的导程等于螺距。但“无处不在的 T8”丝杠是 2 mm 螺距、四条独立螺纹螺旋并排绕在一起，所以转一圈螺母前进四个螺纹：

lead     = 2 mm pitch × 4 starts = 8 mm per revolution
steps/mm = (200 × 16) ÷ 8 = 400

而这就是你见过的另一个数。如果你用卡尺量 T8 的螺纹间距，量到 2 mm，算出 1600 步/mm，于是每一次移动都短了四倍。数一数丝杠端部的螺纹头数——你能看见那四条独立螺旋——或者干脆对着尺子转一整圈。

两者之间怎么选

分辨率不是免费的。一根分辨率是皮带十倍的丝杠，相同距离也需要十倍的脉冲——所以在固定最高步进率下它就慢十倍。这就是取舍，而且是个硬的：

这正是 3D 打印机 X、Y 用皮带而 Z 用丝杠的原因。X、Y 动得快，几乎不承载东西。Z 动得慢，承载着平台或龙门梁的重量，而且断电时不能下垂——T8 的浅螺旋角让它自锁，所以它在负载下不会反向被驱。

那张表里的 40 000 步/s 也是一个真实的天花板，不是理论值。Arduino Uno 用位操作打步进脉冲大约在每秒 10 000 到 15 000 就到顶了，再快循环就跟不上，而这在 T8 配 1/16 微步下大约就是 30 mm/s。如果你需要丝杠轴动得更快，答案是更少的微步、更快的板子，或者硬件定时器——而不是更大的电机。

转矩，以及那张表没说的事

换机构换掉的不只是速度，还有电机看到的负载。丝杠大致按 2π × 半径 ÷ 导程 放大力，所以 T8 能把不算大的电机转矩变成相当可观的轴向力——这正是 Z 轴上用一台小电机也能抬起沉重平台的原因。

皮带正相反。20 齿 GT2 同步轮的节径是 12.7 mm，所以皮带张力等于电机转矩除以 6.4 mm。一台输出 0.3 N·m 的电机在皮带上大约给出 47 N，而你拿到的就这些。如果你的 X 轴一撞到东西就丢步，这套算术就是原因。

折算惯量同样会变，而且方向一致：机构越细，滑车质量对电机的影响越小，这也是丝杠轴能容忍皮带轴受不了的激进加速度的原因之一。你可以在步进模拟器里直接看到这个效应——其他一切保持不变，只把机构从皮带换成丝杠，然后观察失步角发生了什么。

标定它，别信它

算出来的数是起点，不是答案。皮带会拉伸，同步轮有制造公差，丝杠是带着乐观描述卖的。量：

1. 在固定参考物上给滑车做标记。一条胶带加一道锋利的铅笔线。
2. 下发一次长距离移动——100 mm，不是 10 mm。误差是个百分比，所以移动越长量得越准。
3. 用卡尺或钢尺量实际发生了什么。
4. 用一个比值修正：

new steps/mm = old steps/mm × (commanded ÷ measured)

指令 100 mm，量到 98.4 mm，当前是 80：80 × 100 ÷ 98.4 = 81.3 步/mm。

然后重复测量确认。修正一次却不收敛，说明这个误差不是标度误差——而这个区别本身就是诊断：

最后两行能抓住大部分第一次的制作，而两者都是算术问题，不是机械问题。

旋转轴：每度步数

不是每根轴都是线性的。转台、挤出机、相机滑轨的横摇轴和机器人关节，问的是同一个问题、只是分母不同——而对旋转轴来说，分母通常是一个减速比而不是一种机构：

steps/degree = (full steps × microstepping × gear ratio) ÷ 360

一台 1.8° 电机在 1/16 微步配 5:1 减速下给出 (200 × 16 × 5) ÷ 360 = 每度 44.4 步，也就是 0.0225° 的分辨率。值得注意：这和皮带是同一套算术，只不过把每转毫米换成了 360 度。

3D 打印机的挤出机是那个异类，因为它虽然是旋转驱动，却按每毫米耗材的步数标称。分母是那个滚花齿轮的有效周长，而不是它的标称直径——齿咬进耗材，所以真实的抓持半径比零件上印的那个小。这就是为什么没人算 E 步数、所有人都去量它：

1. 在挤出机入口上方 120 mm 的耗材上做标记。
2. 精确挤出 100 mm。
3. 从入口到标记再量一次。如果读到 27 mm，那你挤了 93 mm，不是 100。
4. 新值 = 旧值 × 100 ÷ 93。在 93 步/mm 的基础上就是 100 步/mm。

起点取 120 mm 是有意为之：它留足了耗材，使得即使挤出机严重过挤，那个标记也永远到不了入口。

非整数的每毫米步数

一旦标定完，这个数就不再是整数——80 变成 81.3，而一次 10 mm 的移动变成 813.0 步。固件能正确处理这件事，但手写的代码通常不能，因为那个显而易见的实现每次移动都把小数扔掉：

// Wrong: truncates on every call. Two hundred 0.1 mm moves land 1.4 mm short.
long stepsFor(float mm) { return (long)(mm * stepsPerMm); }

在 81.3 步/mm 下，一次 0.1 mm 的移动是 8.13 步，截断成 8。那 0.13 被扔掉了，而且在下一次移动时又被扔掉，再下一次也是。几百段这样的短移动之后——而曲线或填充图案恰恰就是由几百段短移动组成的——误差就累积成看得见的量。

修法是保留余数而不是保留位置：

// Right: carry the fraction forward, so the error never accumulates past one step.
float carry = 0;

long stepsFor(float mm) {
  float exact = mm * stepsPerMm + carry;
  long whole = lround(exact);
  carry = exact - whole;        // always within half a step
  return whole;
}

现在任何时刻的最坏误差是半步——在这根轴上是 0.006 mm——而且它永不长大。这正是 Bresenham 直线光栅化用的同一个技巧，也是固件用步数而不是毫米跟踪位置的同一个原因：整数步数漂不了，而浮点的毫米位置会漂。

在固件里

Marlin 和 GRBL 都把这个数存成可设参数，所以你很少需要重新编译：

; Marlin — X, Y, Z, E
M92 X80 Y80 Z400 E93
M500          ; save to EEPROM

; GRBL
$100=80       ; X steps/mm
$101=80       ; Y
$102=400      ; Z

把你设的值写下来。这个问题最让人抓狂的版本，是一台曾经被正确标定过、重新刷了固件、然后悄悄退回固件默认值的机器。

下一步

上面这个数告诉机器它走了多远。它对自己是从哪里出发的只字不提——而一台开环机器在上电时没法知道这一点。那就是对着限位归零要做的事。