运动曲线模拟器：梯形与 S 形曲线

控件

距离和最高速度描述你想要的运动。加速度和跃度上限描述这台机器 实际能做到什么。实验台在你每次拖动时都会重新规划——在曲线响应之前 没有哪个按钮需要按。

显示用来在两条曲线同时显示和单独显示某一条之间切换。 播放让一个播放头实时划过图表，这是最快体会“S 形曲线完成得更晚”的方式。

限值下面的那条说明会告诉你一个限值什么时候变得不可达， 而这正是这些滑块值得拖动的原因。

原理

四张图叠在一起，每一张都是上面那张的导数。这种堆叠本身就是论证： 速度上的一个拐角就是加速度上的一个阶跃，而加速度上的一个阶跃 就是跃度上的一个冲激。这个不连续性在你不断求导时从不消失—— 它只是往下移，直到变得无界。

梯形曲线以恒定速率加速、巡航，然后减速。速度是一个梯形， 加速度是一个方波，而跃度是拐角处的一组冲激。这些冲激正是机器 听见的“敲门声”，也是柔顺传动系统会用来回应的振铃。

S 形曲线同时限制跃度。加速度在 t_j = a_max / j_max 的时间内爬升、 保持、再爬升回来，于是速度获得了圆角。它恰好花掉一个跃度时间， 换来的是有界的冲击。

两种曲线都不可能永远满足每一个限值。短于 v²/a 的运动永远达不到最高速度。 最高速度低于 a²/j 的 S 形曲线永远达不到加速度极限。两者都很普通， 而且在这里都看得见。

算法

实验台是求解这条曲线，而不是积分它。每一段的跃度都是常数， 所以在一段之内：

a(τ) = a₀ + j·τ
v(τ) = v₀ + a₀·τ + j·τ²/2
x(τ) = x₀ + v₀·τ + a₀·τ²/2 + j·τ³/6

这些式子是精确的，这正是运动能精确落在目标上而不是落在附近的原因， 也是拖动一个滑块能瞬间重新规划的原因。

挑选峰值速度只用到一个恒等式：一段速度斜坡关于其中点是奇对称的， 所以无论它是什么形状，都恰好覆盖 v_peak/2 × duration。 这把“有没有巡航段？“变成了一次单纯的比较， 也让受距离限制的峰值可以用闭式解出来——在加速度仍然饱和时是一个二次方程， 而一旦不饱和，就是一个立方根。

源代码

一个小到可以直接粘进 sketch 里的梯形曲线生成器。它返回你的控制回路 在时刻 t 应当追逐的位置：

// Target position t seconds into a trapezoidal move of `d` mm.
float profilePosition(float t, float d, float vMax, float a) {
  float tAcc = vMax / a;
  float dAcc = vMax * vMax / (2 * a);

  if (2 * dAcc > d) {                      // too short to reach vMax
    float tPeak = sqrtf(d / a);            // triangular profile
    if (t >= 2 * tPeak) return d;
    if (t < tPeak) return 0.5f * a * t * t;
    float left = 2 * tPeak - t;
    return d - 0.5f * a * left * left;
  }

  float tCruise = (d - 2 * dAcc) / vMax;
  float tTotal  = 2 * tAcc + tCruise;
  if (t >= tTotal) return d;
  if (t < tAcc)           return 0.5f * a * t * t;
  if (t < tAcc + tCruise) return dAcc + vMax * (t - tAcc);

  float left = tTotal - t;
  return d - 0.5f * a * left * left;
}

每个控制周期调用它一次，并把结果喂给负责闭合回路的东西。 AccelStepper 在步进电机内部做的是等价的事；它没有 S 形曲线的选项， 所以跃度受限的曲线得由你自己生成。

假设与硬件差异

这些曲线假定的是一根刚性、不受约束的轴：没有摩擦、没有 背隙、没有皮带拉伸、没有丢步， 而且峰值电流随时可以取用。真实的步进电机 或直流轴都有随速度下降的扭矩、把跃度变成振铃的柔顺性， 以及会饱和的驱动器——这正是 S 形曲线对皮带驱动的机械臂有帮助、 而在一根短而硬的滑轨上却纯属浪费时间的原因。这里的采样率也是理想的； 在单片机上，你的定时器稳定性就是精度下限。请把这段运动读作 你现有的控制器应当追逐的设定点，然后拿它实际拉动的机械结构去核对。

电路图

这个实验台没有专属电路——曲线是算术的一层，不是一个零件。 它位于你的指令源和你已有的回路之间：

target position  →  PROFILE  →  setpoint  →  controller  →  driver  →  motor
                                                 ↑                        │
                                                 └────── encoder ─────────┘

接线就是你的电机本来就需要的东西：一个按斜坡所需峰值电流选型的 驱动器，以及在你想要闭合回路时 加上编码器反馈。 改变的只有控制器被要求去跟随的东西。

完整推导、Marlin 里“jerk”这个词造成的困惑，以及为什么加曲线常常能修好 一个看起来整定糟糕的 PID，都在 运动曲线：梯形与 S 形加速度里。