Simulador Mecanum: lateral, derrapagem e deriva

Controles

Todo controle repete a manobra inteira na entrada, portanto os caminhos acompanham um controle deslizante enquanto você o arrasta. Não há nada para iniciar.

O painel esquerdo é o piso. A linha tracejada é a manobra comandada, a sólida é onde o robô realmente foi e a pontilhada é onde os próprios encoders acreditam que ele foi. O painel direito mostra as quatro velocidades periféricas das rodas em função do tempo, com o limite do motor marcado. Um traço apoiado nessa linha corresponde a uma roda que atingiu o limite de torque do motor; a derrapagem aparece no painel esquerdo, como a distância entre a linha sólida e a pontilhada.

Teoria

Uma roda Mecanum só pode aplicar força no piso ao longo dos eixos de seus roletes. Em qualquer outra direção, o rolete simplesmente gira e nada é transmitido. Esses eixos estão a 45° em relação à roda, portanto a força de uma roda no solo fica presa a uma única linha no piso e nenhuma quantidade de torque do motor a move.

Quatro dessas linhas, com mãos alternadas, somam qualquer coisa. Escreva a velocidade periférica da roda em função do giro do chassi ξ = (vx, vy, ω) e você obtém uma linha por roda:

vᵢ = vx + sᵢ·vy + (sᵢ·xᵢ − yᵢ)·ω        sᵢ = ±1, the roller hand

Empilhe as quatro linhas em uma matriz A e todo o trem de acionamento é v = A·ξ. Três consequências, e o laboratório existe para tornar cada uma visível:

Quatro equações, três incógnitas. Um chassi rígido cujas rodas estão todas aderentes não pode produzir velocidades periféricas arbitrárias — a equação extra diz FL + FR = RL + RR, sempre. O resíduo dessa verificação é um detector de derrapagem gratuito que pode ser calculado apenas com encoders. Ele é acionado por derrapagem assimétrica — uma roda fora do chão, uma sobre uma área molhada, uma no canto errado — e é completamente cego quando todas as quatro derrapam juntas. Essa cegueira explica por que a odometria Mecanum se degrada silenciosamente.

A tração custa 1/√2. A força útil do motor atua ao longo da direção de rolamento, mas a força real no solo é √2 vezes essa, apontada ao longo do eixo do rolete — e o atrito limita todo o vetor. Portanto, o limite por roda é μN/√2 e o teto de aceleração do robô é:

a_max = μ·g / √2

Com μ = 0,85, isso dá 5,9 m/s², contra 8,3 m/s² para o mesmo robô com rodas comuns. A massa se cancela nos dois casos, portanto lastro não muda nada — o contrário de um robô que empurra, onde o peso é toda a estratégia.

As diagonais também custam 1/√2. Um comando a 45° coloca vx + vy em duas rodas e zero nas outras duas, portanto o par ocupado satura enquanto o robô se move apenas a V_MAX / √2. Motores mais rápidos deslocam esse limite; nada o remove.

O desenvolvimento completo, incluindo a inversa da odometria, está em cinemática da roda Mecanum.

Algoritmo

Cada passo de 5 ms, nesta ordem. As duas integrações da pose no final são deliberadamente separadas — essa separação é a lição da odometria.

1. Leia o joystick para obter o comando deste ponto da manobra.
2. Gire para o referencial do robô se estiver orientado ao campo: vx' = vx·cos θ + vy·sin θ, vy' = −vx·sin θ + vy·cos θ. Orientado ao robô pula isso inteiramente.
3. Cinemática inversa — v = A·ξ, usando a matriz em que o software embarcado acredita, que é sempre a correta. Uma roda montada errado não é algo que o software embarcado possa conhecer.
4. Limite — escale o vetor inteiro pelo fator determinado pela maior demanda de roda ou recorte cada roda individualmente.
5. Atraso das rodas — cada roda persegue seu alvo com uma resposta de primeira ordem de 0,1 s, porque um controlador de velocidade é bom, não instantâneo.
6. O que as rodas exigem — cinemática direta por mínimos quadrados nas velocidades periféricas, usando a matriz do robô que realmente foi construído.
7. Resolva as forças que fariam o chassi coincidir com o comando e aplique dois limites em ordem: o do motor (que sempre teve torque limitado) e o do piso (μN/√2 por roda).
8. O excedente recusado pelo piso faz a roda girar. Esse excedente acelera a roda para longe da velocidade comandada, o que produz patinagem da roda, e é o único sintoma de derrapagem que um encoder pode relatar.
9. Integre a verdade a partir das forças que foram realmente aplicadas.
10. Integre a odometria a partir das velocidades periféricas, pela matriz do software embarcado — porque o encoder está preso à roda, não ao piso.

Nada ali procura derrapagem ou a insere. A derrapagem é o passo 7 recusando uma força, e a deriva que você vê é o passo 10 nunca descobrindo.

Experimentos guiados

Cada um isola uma única variável. Execute-os em ordem; eles se constroem.

1. A coisa pela qual você comprou rodas Mecanum

Carregue Um quadrado que fecha. O robô avança um metro, vai um metro para a direita, volta e segue para a esquerda, terminando a apenas 17 mm do ponto inicial, com a leitura de orientação nunca saindo de 0,0°. Agora mude a manobra para quadrado, girando nos cantos — o mesmo quadrado, conduzido como um robô de acionamento diferencial precisa ser. Ele também fecha, em 4 mm. Lembre-se de que os dois funcionam aqui.

O que observar: o quadrado com deslocamento lateral se translada em dois eixos e gasta nenhuma orientação para fazê-lo. Nenhum acionamento diferencial pode tentar isso.

2. Tire o piso de baixo

Arraste a aderência do piso de 0,85 para 0,25, mantendo o quadrado com deslocamento lateral. Depois faça o mesmo com o quadrado girando.

O que observar: observe a orientação, não a distância. Os dois robôs derrapam e ambos falham ao voltar para casa; o que se desloca lateralmente erra enquanto ainda aponta exatamente para onde começou, porque nunca comandou rotação. O que gira perde a orientação e depois conduz o próximo trecho na direção errada, que é como uma pequena derrapagem se transforma em um grande erro. Cada rotação da base holonômica é uma nova chance de perder a referência, e o acionamento holonômico não apresenta esse problema.

As distâncias neste experimento mudam entre execuções com configurações diferentes, e essa é a resposta honesta, e não um defeito: um robô derrapando nas quatro rodas forma um sistema de adesão-deslizamento e não termina duas vezes no mesmo lugar. A orientação não tem esse problema.

3. Veja os encoders mentirem

Carregue O mesmo quadrado, piso gorduroso e observe as duas linhas no painel esquerdo. A linha pontilhada da odometria desenha um quadrado arrumado; a linha sólida não. O robô termina a 225 mm do ponto de partida, enquanto seus próprios encoders o colocam a 133 mm da posição real, depois de 1,27 m de solo passar sob as rodas sem mover o robô.

Agora observe a leitura Discrepância entre encoders. Ela permanece em 0,000 o tempo todo.

O que observar: a verificação de resíduo gratuita — FL + FR deve ser igual a RL + RR em qualquer chassi rígido — detecta uma roda derrapando e é completamente cega às quatro derrapando juntas. Essa cegueira é exatamente a razão pela qual a odometria Mecanum falha silenciosamente. Coloque uma IMU nele, ou rodas mortas, e pare de confiar nos encoders do acionamento para determinar a posição.

4. O teto de √2

Carregue Corrida diagonal. A velocidade do joystick é 0,60 m/s e a velocidade máxima da roda também, portanto o comando deveria ser alcançável. Não é: o comando é recortado durante 91% da execução e o robô chega a no máximo 0,424 m/s — que é 0,60/√2 até a terceira casa decimal, alcançado exatamente.

O que observar: no painel direito, dois traços ficam em zero enquanto dois estão presos no limite. Um comando a 45° coloca vx + vy em duas rodas e nada nas outras duas, portanto o par ocupado satura em V_MAX / √2. Aumente a velocidade máxima da roda e o limite se move junto — 71% nunca muda.

5. Escale ou recorte

Mude a manobra para dirigir enquanto gira, aumente o giro do joystick para 240 °/s e alterne Acima do limite entre as duas configurações. O caminho muda de forma.

O que observar: o escalonamento entrega velocidade em cada eixo e mantém a direção. O recorte mantém a velocidade para frente e descarta 27% da rotação — o robô gira 127° durante a execução, em vez de 92°; portanto, ele se curva de maneira diferente da solicitada. Depois volte à corrida diagonal e experimente o mesmo interruptor: nada acontece, porque as rodas ociosas já estavam dentro do limite. É assim que esse defeito sobrevive aos testes.

6. Instale uma roda ao contrário

Carregue Uma roda instalada ao contrário ou pressione W nos gráficos. Nada no código mudou.

O que observar: o robô não está mais fazendo nada parecido com o que foi solicitado e, desta vez, a leitura de resíduo dispara — grande e constante, não intermitente. Observe qual coluna tem números exatos e qual não tem: com uma roda lutando contra as outras três, o robô está derrapando continuamente, portanto sua pose final é caótica. O resíduo é o número que sobrevive, e é exatamente por isso que ele merece uma linha de telemetria. Esse é o único sintoma que você pode ler em um robô real sem IMU e sem referência externa. Olhe também para o robô desenhado: a hachura do canto espelhado aponta para o lado errado e as quatro linhas dos roletes não formam mais um X.

7. Orientado ao campo, em uma tecla

Carregue Orientado ao campo enquanto gira e pressione O para voltar ao orientado ao robô e O novamente para retornar.

O que observar: orientado ao robô, um joystick para frente mantido enquanto se gira desenha uma roseta: o robô percorre 2,34 m de caminho e termina a 0,30 m de onde começou — 13% de seu esforço foi para lugar nenhum. Orientado ao campo, o mesmo joystick percorre 2,03 m e termina a 2,03 m de distância: uma linha reta, 100%, com o corpo girando ao longo de todo o percurso. Seis linhas de trigonometria separam os dois casos, e essa é a diferença entre um robô que uma pessoa consegue dirigir e um que ninguém consegue.

O que observar

Reunindo os sete pontos:

• Para frente não tem penalidade; lateral e diagonal têm. Cada roda contribui totalmente para o movimento para frente. Uma diagonal usa metade delas.
• Duas penalidades de raiz de dois, dos mesmos 45°. Velocidade na diagonal e tração em todas as direções. Nenhuma é eliminada com motores maiores.
• A massa se cancela. O teto de aceleração é μg/√2, qualquer que seja o peso do robô, o contrário de um robô que empurra.
• Holonômico vence diferencial quando o piso é ruim, porque o erro nasce nas rotações da base holonômica.
• A odometria é o preço. Não é um problema de ajuste nem de encoder melhor — a roda derrapando é como o trem de acionamento funciona.

Aplicação em hardware

O laboratório vale os vinte minutos principalmente pelo experimento 6. Instalar uma roda ao contrário não custa nada aqui e custa meio dia na bancada, e é a falha que você tem mais chance de cometer.

Código-fonte

Todo o trem de acionamento está nestas duas funções. A geometria existe em exatamente um lugar.

const float LX = 0.075f;      // half the wheelbase, m (wheel centre to wheel centre / 2)
const float LY = 0.085f;      // half the track, m
const float K  = LX + LY;
const float R  = 0.0485f;     // wheel radius, m
const float V_MAX = 0.60f;    // rim speed the motors can actually hold, m/s

// Inverse kinematics + saturation. vx forward, vy LEFT, omega counter-clockwise.
void driveMecanum(float vx, float vy, float omega) {
  float w[4] = {
    vx - vy - K * omega,      // front left
    vx + vy + K * omega,      // front right
    vx + vy - K * omega,      // rear left
    vx - vy + K * omega,      // rear right
  };

  float peak = 0;
  for (int i = 0; i < 4; i++) peak = max(peak, fabsf(w[i]));
  if (peak > V_MAX) {                    // SCALE, never clip
    float s = V_MAX / peak;
    for (int i = 0; i < 4; i++) w[i] *= s;
  }

  for (int i = 0; i < 4; i++) wheelLoop[i].target = w[i];   // hand to the velocity loops
}

// Forward kinematics for odometry, and the free diagnostic.
float updateOdometry(const float rim[4], float dt) {
  float vx    = ( rim[0] + rim[1] + rim[2] + rim[3]) * 0.25f;
  float vy    = (-rim[0] + rim[1] + rim[2] - rim[3]) * 0.25f;
  float omega = (-rim[0] + rim[1] - rim[2] + rim[3]) * 0.25f / K;

  theta += omega * dt;
  poseX += (vx * cosf(theta) - vy * sinf(theta)) * dt;
  poseY += (vx * sinf(theta) + vy * cosf(theta)) * dt;

  // Four equations, three unknowns. On any rigid, gripping chassis this is zero.
  // Large and steady => a wheel is in the wrong corner. Bursty => something slipped.
  return (rim[0] + rim[1]) - (rim[2] + rim[3]);
}

O desenvolvimento dessas quatro linhas e a explicação de por que o resíduo funciona estão em cinemática da roda Mecanum. Para que wheelLoop[i].target signifique algo, implemente o controle de velocidade das rodas com realimentação. Para construir a coisa, veja o robô omnidirecional Mecanum.