Simulador de perfil de movimento: trapezoidal e curva em S

Controles

Distância e velocidade máxima descrevem o movimento que você quer. Aceleração e limite de jerk descrevem o que a máquina realmente pode fazer. O laboratório replaneja a cada arrasto — não há botão a pressionar: as curvas respondem imediatamente.

Mostrar alterna entre os dois perfis e permite exibir cada um isoladamente. Reproduzir faz um cursor de reprodução percorrer os gráficos em tempo real, que é a maneira mais rápida de perceber que a curva em S termina depois.

A observação abaixo dos limites avisa quando um limite deixa de ser alcançável, que é a razão pela qual vale a pena arrastar os controles deslizantes.

Teoria

Quatro gráficos empilhados, cada um sendo a derivada do gráfico acima. Esse empilhamento é o argumento: um canto na velocidade é um degrau na aceleração, e um degrau na aceleração é um impulso no jerk. A descontinuidade nunca desaparece à medida que você diferencia — ela desce até se tornar ilimitada.

Um perfil trapezoidal acelera a uma taxa constante, mantém a velocidade e depois desacelera. A velocidade é um trapézio, a aceleração é uma onda quadrada e o jerk é um conjunto de impulsos nos cantos. Esses impulsos são o que uma máquina ouve como batida e que fazem um trem de transmissão complacente ressoar.

Um perfil de curva em S também limita o jerk. A aceleração entra em rampa durante t_j = a_max / j_max, permanece constante e sai em rampa, de modo que a velocidade ganha cantos arredondados. Custa exatamente um tempo de jerk e limita o choque.

Nenhum perfil consegue respeitar todos os limites o tempo todo. Um movimento menor que v²/a nunca atinge a velocidade máxima. Uma curva em S cuja velocidade máxima é menor que a²/j nunca atinge o limite de aceleração. Ambas são situações normais e ambas são visíveis aqui.

Algoritmo

O laboratório resolve o perfil em vez de integrá-lo. Cada segmento tem um jerk constante, portanto, dentro de um segmento:

a(τ) = a₀ + j·τ
v(τ) = v₀ + a₀·τ + j·τ²/2
x(τ) = x₀ + v₀·τ + a₀·τ²/2 + j·τ³/6

Essas expressões são exatas, e é por isso que o movimento termina no alvo, não perto dele, e por isso que arrastar um controle replaneja o movimento instantaneamente.

Escolher a velocidade de pico usa uma única identidade: uma rampa de velocidade possui simetria ímpar em relação ao ponto médio, portanto sempre cobre exatamente v_peak/2 × duration, qualquer que seja sua forma. Isso transforma “existe uma fase de velocidade constante?” em uma única comparação e permite resolver em forma fechada a velocidade de pico limitada pela distância — um cálculo quadrático enquanto a aceleração ainda satura e um cálculo com raiz cúbica quando ela deixa de saturar.

Código-fonte

Um gerador trapezoidal pequeno o bastante para colar em um esboço Arduino. Ele retorna a posição que seu laço de controle deve seguir no tempo t:

// Target position t seconds into a trapezoidal move of `d` mm.
float profilePosition(float t, float d, float vMax, float a) {
  float tAcc = vMax / a;
  float dAcc = vMax * vMax / (2 * a);

  if (2 * dAcc > d) {                      // too short to reach vMax
    float tPeak = sqrtf(d / a);            // triangular profile
    if (t >= 2 * tPeak) return d;
    if (t < tPeak) return 0.5f * a * t * t;
    float left = 2 * tPeak - t;
    return d - 0.5f * a * left * left;
  }

  float tCruise = (d - 2 * dAcc) / vMax;
  float tTotal  = 2 * tAcc + tCruise;
  if (t >= tTotal) return d;
  if (t < tAcc)           return 0.5f * a * t * t;
  if (t < tAcc + tCruise) return dAcc + vMax * (t - tAcc);

  float left = tTotal - t;
  return d - 0.5f * a * left * left;
}

Chame-o uma vez por período de controle e forneça o resultado ao elemento que fecha o laço. AccelStepper faz o equivalente internamente para motores de passo; não há opção de curva em S, portanto um perfil limitado por jerk deve ser gerado por você.

Premissas e diferenças do hardware

Os perfis assumem um eixo rígido e sem restrições: sem atrito, sem folga de retorno, sem alongamento de correia e sem perda de passo, e que a corrente de pico está disponível sempre que necessária. Um motor de passo ou um eixo CC real tem torque que diminui com a velocidade, complacência que transforma jerk em oscilação e um driver de motor que satura — por isso uma curva em S ajuda um braço acionado por correia, mas é tempo perdido em um cursor curto e rígido. A taxa de amostragem também é ideal aqui; em um microcontrolador, a estabilidade do temporizador é o limite de precisão. Leia o movimento como a referência que seu controlador existente deve seguir e depois verifique-a contra a mecânica que ela realmente aciona.

Diagrama do circuito

Não há um circuito exclusivo deste laboratório — o perfil é uma camada de cálculo, não uma peça. Ele fica entre sua fonte de comandos e o laço que você já tem:

target position  →  PROFILE  →  setpoint  →  controller  →  driver  →  motor
                                                 ↑                        │
                                                 └────── encoder ─────────┘

A fiação é a que o motor já exige: um driver de motor dimensionado para a corrente de pico exigida pela rampa e realimentação por encoder se quiser fechar o laço. O que muda é apenas a referência que o controlador deve seguir.

A derivação completa, a confusão com “jerk” no Marlin e o motivo pelo qual o planejamento de perfis muitas vezes corrige um PID que parecia mal ajustado estão em perfis de movimento: aceleração trapezoidal e em curva S.