Шагов на миллиметр: ремни, ходовые винты, разрешение

Одно число, одна формула

Драйвер шагового двигателя считает импульсы. Машина перемещается в миллиметрах. Число, преобразующее одно в другое, — это число шагов на миллиметр, и все остальные калибровки машины зависят от его правильности.

Формула не меняется:

steps/mm = (full steps per revolution × microstepping) ÷ travel per revolution

Числитель определяется двигателем и драйвером: двигатель с 1.8° при микрошаге 1/16 всегда даёт 200 × 16 = 3200 микрошагов на оборот. Знаменатель — единственная часть, зависящая от машины, и это механический вопрос: на какое расстояние перемещается ось при одном обороте вала?

Ремни

Для зубчатого ремня перемещение за оборот равно числу зубьев шкива, умноженному на шаг ремня. Ремень GT2 имеет шаг 2 mm, а шкив на 20 зубьев используется по умолчанию почти на каждой машине для любителей:

travel  = 20 teeth × 2 mm = 40 mm per revolution
steps/mm = (200 × 16) ÷ 40 = 80

Вот источник значения 80 steps/mm в конфигурации осей X и Y каждого 3D-принтера. Это не магическая константа: расчёт соответствует GT2 на 20 зубьев при шестнадцати микрошагах, а при установке шкива на 16 зубьев получается 100.

Обратите внимание, что значение для шкива на 30 зубьев делится не нацело. 53.333… steps/mm совершенно допустимо — прошивка хранит его как число с плавающей точкой и накапливает дробные шаги, — но ни одна позиция никогда не окажется точно на границе шага, и это один из аргументов в пользу числа зубьев, которое используют остальные.

Ходовые винты

Для винта перемещение за оборот — это ход, и ход не равен шагу резьбы. Это самая распространённая ошибка во всей теме.

• Шаг резьбы — расстояние между соседними витками.
• Ход — расстояние, на которое гайка перемещается за один оборот.
• Lead = pitch × number of starts.

Однозаходный винт имеет ход, равный шагу резьбы. Но распространённый винт «T8» имеет шаг резьбы 2 mm и четыре отдельные винтовые спирали, навитые рядом друг с другом, поэтому один оборот перемещает гайку на четыре витка:

lead     = 2 mm pitch × 4 starts = 8 mm per revolution
steps/mm = (200 × 16) ÷ 8 = 400

Вот и второе встречавшееся число. Если измерить шаг резьбы T8 штангенциркулем, получится 2 mm, вычисление даст 1600 steps/mm, и каждое перемещение окажется в четыре раза короче. Посчитайте заходы на конце винта — видны четыре отдельные спирали — или просто поверните его на полный оборот относительно линейки.

Выбор между ними

Разрешение не бесплатно. Винт с десятикратно большим разрешением ремня также требует в десять раз больше импульсов для того же расстояния, поэтому при фиксированной максимальной частоте шагов он в десять раз медленнее. Это жёсткий компромисс:

Именно поэтому 3D-принтер использует ремни для X и Y, а винт для Z. Оси X и Y перемещаются быстро и несут почти ничего. Ось Z движется медленно, несёт вес стола или портала и не должна провисать после отключения питания; небольшой угол винтовой линии T8 обеспечивает самоторможение, поэтому под нагрузкой ось не провернётся.

Значение 40 000 steps/s в таблице также является реальным пределом, а не теоретическим. Arduino Uno при программном формировании импульсов выдаёт не более примерно 10 000–15 000 в секунду, прежде чем цикл перестанет справляться; для T8 при микрошаге 1/16 это около 30 mm/s. Если ось с винтом должна двигаться быстрее, решения — меньшее число микрошагов, более быстрая плата или аппаратный таймер, а не более мощный двигатель.

Момент и то, чего не говорит таблица

Изменение механизма изменяет не только скорость, но и нагрузку, которую видит двигатель. Ходовой винт увеличивает силу примерно в 2π × radius ÷ lead раз, поэтому T8 превращает умеренный момент двигателя в существенную осевую силу — благодаря этому ось Z с небольшим двигателем поднимает тяжёлый стол.

Ремень действует наоборот. Шкив GT2 на 20 зубьев имеет делительный диаметр 12.7 mm, поэтому натяжение ремня равно моменту двигателя, делённому на 6.4 mm. Двигатель с моментом 0.3 N·m создаёт около 47 N на ремне, и это всё. Именно этим объясняется пропуск шагов осью X при столкновении с препятствием.

Приведённая инерция также изменяется в том же направлении: чем выше разрешение механизма, тем меньше масса каретки влияет на двигатель, что частично объясняет, почему ось с винтом допускает более агрессивное ускорение, чем ось с ремнём. Этот эффект можно увидеть непосредственно в симуляторе шагового двигателя: при неизменных остальных параметрах переключите механизм с ремня на ходовой винт и проследите за изменением угла запаздывания.

Калибруйте, не полагайтесь на расчёт

Рассчитанное число — отправная точка, а не ответ. Ремни растягиваются, шкивы имеют производственные допуски, а винты продаются с оптимистичными описаниями. Измерьте:

1. Отметьте каретку относительно неподвижной точки. Используйте полоску клейкой ленты и чёткую линию карандашом.
2. Задайте длинное перемещение — 100 mm, а не 10 mm. Ошибка является процентной, поэтому длинный ход измеряет её точнее.
3. Измерьте фактическое перемещение штангенциркулем или стальной линейкой.
4. Скорректируйте коэффициентом:

new steps/mm = old steps/mm × (commanded ÷ measured)

Задано 100 mm, измерено 98.4 mm, текущее значение равно 80: 80 × 100 ÷ 98.4 = 81.3 steps/mm.

Затем повторите измерение для подтверждения. Если единственная коррекция не сходится, ошибка не является ошибкой масштаба, и это различие даёт диагностическую подсказку:

Последние две строки выявляют большинство первых конструкций, и обе ошибки относятся к арифметике, а не к механике.

Вращающиеся оси: шагов на градус

Не каждая ось линейная. Поворотный стол, экструдер филамента, ось поворота слайдера камеры и сустав робота задают тот же вопрос с другим знаменателем — для вращающейся оси знаменателем обычно является передаточное число, а не механизм:

steps/degree = (full steps × microstepping × gear ratio) ÷ 360

Двигатель 1.8° при микрошаге 1/16 и редукторе 5:1 даёт (200 × 16 × 5) ÷ 360 = 44.4 steps per degree, то есть разрешение 0.0225°. Стоит заметить, что это та же арифметика, что и для ремня, только вместо миллиметров на оборот используются 360 градусов.

Экструдер 3D-принтера — исключение, поскольку для привода вращательного типа его параметр указывается в шагах на миллиметр филамента. Знаменателем служит эффективная длина окружности фрезерованного зубчатого колеса, а не его номинальный диаметр: зубья вгрызаются в филамент, поэтому фактический радиус сцепления меньше напечатанного на детали. Именно поэтому параметр E-steps не рассчитывают, а измеряют:

1. Отметьте филамент на расстоянии 120 mm выше входа экструдера.
2. Экструдируйте ровно 100 mm.
3. Снова измерьте расстояние от входа до отметки. Если получится 27 mm, фактически экструдировано 93 mm, а не 100.
4. new = old × 100 ÷ 93. При исходном значении 93 steps/mm получается 100 steps/mm.

Начальная отметка на 120 mm выбрана намеренно: она оставляет достаточно филамента, чтобы метка не достигла входа даже при сильном избытке экструзии.

Нецелое число шагов на миллиметр

После калибровки число перестаёт быть круглым: 80 превращается в 81.3, а перемещение на 10 mm требует 813.0 шагов. Прошивка обрабатывает это правильно, но код, написанный вручную, обычно нет, поскольку очевидная реализация отбрасывает дробную часть при каждом перемещении:

// Wrong: truncates on every call. Two hundred 0.1 mm moves land 1.4 mm short.
long stepsFor(float mm) { return (long)(mm * stepsPerMm); }

При 81.3 steps/mm перемещение 0.1 mm составляет 8.13 шага, что усекается до 8. Дробь 0.13 отбрасывается и при следующем перемещении, и затем снова. За несколько сотен коротких отрезков — именно их образует кривая или штриховка — ошибка накапливается до заметной величины.

Исправление состоит в сохранении остатка, а не позиции:

// Right: carry the fraction forward, so the error never accumulates past one step.
float carry = 0;

long stepsFor(float mm) {
  float exact = mm * stepsPerMm + carry;
  long whole = lround(exact);
  carry = exact - whole;        // always within half a step
  return whole;
}

Теперь наибольшая ошибка в любой момент не превышает половины шага — 0.006 mm на этой оси — и не растёт. Это тот же приём, который использует растеризация линий Брезенхэма, и причина, по которой прошивка отслеживает позицию в шагах, а не в миллиметрах: целое число шагов не может дрейфовать, а позиция с плавающей точкой в миллиметрах может.

В прошивке

Marlin и GRBL хранят это число как настраиваемый параметр, поэтому перекомпиляция требуется редко:

; Marlin — X, Y, Z, E
M92 X80 Y80 Z400 E93
M500          ; save to EEPROM

; GRBL
$100=80       ; X steps/mm
$101=80       ; Y
$102=400      ; Z

Запишите установленное значение. Самая неприятная форма этой проблемы — машина, однажды откалиброванная правильно, затем перепрошитая и молча вернувшаяся к значениям прошивки по умолчанию.

Далее

Приведённое число сообщает машине, насколько далеко она переместилась, но ничего не говорит о том, где она начала. При включении питания разомкнутая машина не может это определить. Для этого служит возврат в исходное положение по концевому выключателю.