Simulatie van bewegingsprofielen: trapezium en S-curve

Bediening

Afstand en topsnelheid beschrijven de beweging die je wilt. Acceleratie en jerkgrens beschrijven wat de machine werkelijk kan. Het lab plant opnieuw bij elke sleepbeweging — je hoeft niets in te drukken voordat de grafieken reageren.

Tonen schakelt tussen beide profielen en elk profiel op zichzelf. Afspelen laat in real time een afspeelkop over de grafieken lopen, en dat is de snelste manier om te voelen dat de S-curve later eindigt.

De aantekening onder de grenzen vertelt wanneer een grens niet meer haalbaar is, en dat is precies waarom het de moeite waard is om met de schuifregelaars te slepen.

Theorie

Vier grafieken boven elkaar, elk de afgeleide van de grafiek erboven. Die stapeling is het hele betoog: een knik in de snelheid is een sprong in de acceleratie, en een sprong in de acceleratie is een impuls in de jerk. De discontinuïteit verdwijnt nooit terwijl je differentieert — hij schuift omlaag tot hij onbegrensd wordt.

Een trapeziumvormig profiel versnelt met constante snelheid van versnelling, vaart constant en vertraagt dan. De snelheid is een trapezium, de acceleratie is een blokgolf en de jerk is een reeks impulsen op de hoekpunten. Die impulsen zijn wat een machine als een klop hoort en waarop een soepele aandrijving met resonantie antwoordt.

Een S-curveprofiel begrenst ook de jerk. De acceleratie loopt op over t_j = a_max / j_max, blijft constant en loopt weer af, zodat de snelheid afgeronde hoeken krijgt. Het kost precies één jerksectijd en levert begrensde schokken op.

Geen van beide profielen kan altijd elke grens halen. Een beweging korter dan v²/a haalt nooit de topsnelheid. Een S-curve waarvan de topsnelheid onder a²/j ligt, haalt nooit de acceleratiegrens. Beide zijn alledaags en beide zijn hier zichtbaar.

Algoritme

Het lab lost het profiel op in plaats van het te integreren. Elk segment heeft een constante jerk, dus binnen één segment:

a(τ) = a₀ + j·τ
v(τ) = v₀ + a₀·τ + j·τ²/2
x(τ) = x₀ + v₀·τ + a₀·τ²/2 + j·τ³/6

Die formules zijn exact, en daarom komt de beweging op het doel terecht in plaats van er vlakbij, en daarom plant een verschuiving van een schuifregelaar direct opnieuw.

Voor het bepalen van de pieksnelheid geldt één identiteit: een snelheidshelling is antisymmetrisch rond haar midden en bestrijkt daarom altijd exact v_peak/2 × duration, ongeacht haar vorm. Daarmee wordt „is er een constante fase?“ een enkele vergelijking, en wordt de door afstand begrensde piek in gesloten vorm oplosbaar — een kwadratische vergelijking zolang de acceleratie nog verzadigd is, en een derdemachtswortel zodra dat niet meer zo is.

Broncode

Een trapeziumgenerator die klein genoeg is om in een sketch te plakken. Hij geeft de positie terug die je regelkring op tijdstip t moet nastreven:

// Target position t seconds into a trapezoidal move of `d` mm.
float profilePosition(float t, float d, float vMax, float a) {
  float tAcc = vMax / a;
  float dAcc = vMax * vMax / (2 * a);

  if (2 * dAcc > d) {                      // too short to reach vMax
    float tPeak = sqrtf(d / a);            // triangular profile
    if (t >= 2 * tPeak) return d;
    if (t < tPeak) return 0.5f * a * t * t;
    float left = 2 * tPeak - t;
    return d - 0.5f * a * left * left;
  }

  float tCruise = (d - 2 * dAcc) / vMax;
  float tTotal  = 2 * tAcc + tCruise;
  if (t >= tTotal) return d;
  if (t < tAcc)           return 0.5f * a * t * t;
  if (t < tAcc + tCruise) return dAcc + vMax * (t - tAcc);

  float left = tTotal - t;
  return d - 0.5f * a * left * left;
}

Roep hem eenmaal per regelperiode aan en geef het resultaat aan wat de kring ook sluit. AccelStepper doet dat intern ook voor stappenmotoren; er is geen S-curveoptie, dus een jerkbegrensd profiel moet je zelf genereren.

Aannames en hardwareverschillen

De profielen gaan uit van een starre, ongehinderde as: geen wrijving, geen speling, geen bandrek en geen stapverlies, en piekstroom die op aanvraag beschikbaar is. Een echte stappenmotoras of gelijkstroomas heeft koppel dat met de snelheid afneemt, soepelheid die jerk in resonantie verandert en een driver die verzadigt — en daarom helpt een S-curve een bandgestuurde arm maar is die verspilde tijd op een korte, stijve geleider. De bemonsteringsfrequentie is hier ook ideaal; op een microcontroller is de stabiliteit van je timer de nauwkeurigheidsvloer. Lees de beweging als het setpoint dat je bestaande regelaar moet nastreven en controleer het vervolgens tegen de mechaniek die hij werkelijk aandrijft.

Schakelschema

Er is geen schakeling die uniek is voor dit lab — het profiel is een laag rekenwerk, geen onderdeel. Het zit tussen je commandobron en de lus die je al hebt:

target position  →  PROFILE  →  setpoint  →  controller  →  driver  →  motor
                                                 ↑                        │
                                                 └────── encoder ─────────┘

De bedrading is wat je motor al nodig heeft: een driver die gedimensioneerd is op de piekstroom die de helling vraagt, en encoderterugkoppeling als je de lus wilt sluiten. Alleen verandert wat de regelaar moet volgen.

De volledige afleiding, de verwarring rond „jerk“ in Marlin en de reden waarom profileren vaak een PID regelt die slecht afgesteld leek, staan in bewegingsprofielen: trapezium- en S-curveversnelling.