Bewegungsprofil-Simulator: Trapez und S-Kurve

Steuerung

Distanz und Spitze beschreiben den gewünschten Hub. Beschleunigung und Ruckgrenze beschreiben, was die Maschine wirklich kann. Das Labor plant bei jedem Ziehen neu — es gibt nichts zu drücken, bevor die Kurven antworten.

Anzeige schaltet zwischen beiden Profilen und je einem allein. Abspielen fährt einen Abspielkopf in Echtzeit über die Diagramme — der schnellste Weg zu fühlen, dass die S-Kurve später endet.

Der Hinweis unter den Grenzen sagt dir, wann eine Grenze unerreichbar wird — genau darum lohnt es, die Schieber zu ziehen.

Theorie

Vier Diagramme, gestapelt, jedes die Ableitung des darüber. Diese Stapelung ist das Argument: Eine Ecke in der Geschwindigkeit ist ein Sprung in der Beschleunigung, und ein Sprung in der Beschleunigung ist ein Impuls im Ruck. Die Unstetigkeit verschwindet beim Differenzieren nie — sie wandert nach unten, bis sie unbeschränkt wird.

Ein Trapez-Profil beschleunigt konstant, cruist, bremst dann. Geschwindigkeit ist ein Trapez, Beschleunigung eine Rechteckwelle, Ruck eine Impulsfolge an den Ecken. Diese Impulse hört eine Maschine als Schlag, und ein nachgiebiger Antrieb antwortet mit Nachschwingen.

Ein S-Kurven-Profil begrenzt zusätzlich den Ruck. Beschleunigung rampt über t_j = a_max / j_max hoch, hält und rampt herunter — Geschwindigkeit bekommt runde Ecken. Es kostet exakt eine Ruckzeit und kauft begrenzten Stoß.

Kein Profil kann immer jede Grenze ehren. Ein Hub kürzer als v²/a erreicht nie die Spitze. Eine S-Kurve, deren Spitze unter a²/j liegt, erreicht nie die Beschleunigungsgrenze. Beides ist normal und hier sichtbar.

Algorithmus

Das Labor löst das Profil statt es zu integrieren. Jedes Segment hat konstanten Ruck, innerhalb eines Segments gilt also:

a(τ) = a₀ + j·τ
v(τ) = v₀ + a₀·τ + j·τ²/2
x(τ) = x₀ + v₀·τ + a₀·τ²/2 + j·τ³/6

Die sind exakt — darum landet der Hub auf dem Ziel statt daneben, und darum plant Schieberziehen instantan neu.

Die Spitzenwahl nutzt eine Identität: Eine Geschwindigkeitsrampe ist punktsymmetrisch um ihre Mitte und deckt daher immer exakt v_peak/2 × Dauer, egal welche Form. Das macht „Gibt es eine Cruisephase?“ zu einem einzigen Vergleich und die distanzbegrenzte Spitze geschlossen lösbar — quadratisch, solange Beschleunigung noch sättigt, Kubikwurzel, sobald nicht.

Quellcode

Ein Trapezgenerator, klein genug zum Einkleben in einen Sketch. Er gibt die Position zurück, die deine Regelschleife zur Zeit t verfolgen sollte:

// Target position t seconds into a trapezoidal move of `d` mm.
float profilePosition(float t, float d, float vMax, float a) {
  float tAcc = vMax / a;
  float dAcc = vMax * vMax / (2 * a);

  if (2 * dAcc > d) {                      // too short to reach vMax
    float tPeak = sqrtf(d / a);            // triangular profile
    if (t >= 2 * tPeak) return d;
    if (t < tPeak) return 0.5f * a * t * t;
    float left = 2 * tPeak - t;
    return d - 0.5f * a * left * left;
  }

  float tCruise = (d - 2 * dAcc) / vMax;
  float tTotal  = 2 * tAcc + tCruise;
  if (t >= tTotal) return d;
  if (t < tAcc)           return 0.5f * a * t * t;
  if (t < tAcc + tCruise) return dAcc + vMax * (t - tAcc);

  float left = tTotal - t;
  return d - 0.5f * a * left * left;
}

Rufe ihn einmal pro Regelperiode und füttere das Ergebnis an was auch immer den Kreis schließt. AccelStepper tut intern das Äquivalente für Schrittmotoren; S-Kurven-Option gibt es keine — ein ruckbegrenztes Profil erzeugst du selbst.

Annahmen und Unterschiede zur Hardware

Die Profile nehmen eine starre, freie Achse an: keine Reibung, kein Spiel, keine Riemendehnung und kein Schrittverlust, Spitzenstrom jederzeit verfügbar. Eine echte Schrittmotor- oder DC-Achse hat drehzahlfallendes Moment, Nachgiebigkeit, die aus Ruck Klingen macht, und einen sättigenden Treiber — darum hilft eine S-Kurve einem riemengetriebenen Arm, ist aber verschenkte Zeit auf kurzem, steifem Schlitten. Auch die Abtastrate ist hier ideal; auf dem Mikrocontroller ist deine Zeitgeberstabilität die Genauigkeitsuntergrenze. Lies den Hub als Sollwert, den dein vorhandener Regler verfolgen sollte, und verifiziere gegen die Mechanik, die er wirklich zieht.

Schaltplan

Es gibt keine Schaltung eigens für dieses Labor — das Profil ist eine Rechenschicht, kein Bauteil. Es sitzt zwischen Befehlsquelle und vorhandener Schleife:

target position  →  PROFILE  →  setpoint  →  controller  →  driver  →  motor
                                                  ↑                        │
                                                  └────── encoder ─────────┘

Die Verdrahtung ist, was dein Motor schon braucht: ein Treiber, bemessen für den Spitzenstrom, den die Rampe verlangt, und Encoder-Feedback, wenn du den Kreis schließen willst. Was sich ändert, ist nur, was der Regler verfolgen soll.

Volle Herleitung, die Marlin-„Jerk“-Verwirrung und warum Profilieren oft ein scheinbar verstimmtes PID repariert stehen in Bewegungsprofile: Trapez- und S-Kurven-Beschleunigung.