Simulatore di profili di movimento: trapezoidale e a S

Controlli

Distanza e velocità massima descrivono il movimento desiderato. Accelerazione e limite di jerk descrivono ciò che la macchina può effettivamente fare. Il laboratorio ripianifica a ogni trascinamento: non devi premere nulla prima che le curve rispondano.

Mostra alterna tra entrambi i profili e uno solo. Riproduci fa scorrere un cursore temporale sui grafici in tempo reale, il modo più rapido per percepire che il profilo a S termina più tardi.

La nota sotto i limiti ti dice quando un limite non è più raggiungibile: è il motivo per cui vale la pena trascinare i cursori.

Teoria

Quattro grafici impilati, ciascuno la derivata di quello sopra. Quell’impilamento è la dimostrazione: un angolo nella velocità è un gradino nell’accelerazione, e un gradino nell’accelerazione è un impulso nel jerk. La discontinuità non scompare quando si differenzia: scende finché non diventa illimitata.

Un profilo trapezoidale accelera con un’accelerazione costante, mantiene la velocità e poi decelera. La velocità è un trapezio, l’accelerazione è un’onda quadrata e il jerk è una serie di impulsi agli angoli. Sono proprio questi impulsi che una macchina percepisce come un colpo e a cui un gruppo di trasmissione flessibile risponde con oscillazioni.

Un profilo a S limita anche il jerk. L’accelerazione aumenta in rampa per t_j = a_max / j_max, rimane costante e poi diminuisce, così la velocità acquisisce angoli arrotondati. Costa esattamente un tempo di jerk e ottiene uno shock limitato.

Nessun profilo può sempre rispettare ogni limite. Un movimento più breve di v²/a non raggiunge mai la velocità massima. Un profilo a S la cui velocità massima è inferiore a a²/j non raggiunge mai il limite di accelerazione. Entrambi i casi sono normali e sono visibili qui.

Algoritmo

Il laboratorio risolve il profilo invece di integrarlo. Ogni segmento ha un jerk costante, quindi all’interno di un segmento:

a(τ) = a₀ + j·τ
v(τ) = v₀ + a₀·τ + j·τ²/2
x(τ) = x₀ + v₀·τ + a₀·τ²/2 + j·τ³/6

Queste equazioni sono esatte: ecco perché il movimento arriva sul bersaglio e non solo vicino, e perché trascinando un cursore il profilo viene ripianificato immediatamente.

La scelta della velocità di picco usa una sola identità: una rampa di velocità è simmetrica rispetto al suo punto medio, quindi copre sempre esattamente v_peak/2 × duration, qualunque forma abbia. Questo trasforma la domanda «c’è una fase di velocità costante?» in un unico confronto e rende la velocità di picco limitata dalla distanza risolvibile in forma chiusa: un’equazione di secondo grado mentre l’accelerazione è ancora saturata, una radice cubica quando non lo è più.

Codice sorgente

Un generatore trapezoidale abbastanza piccolo da incollare in uno sketch. Restituisce la posizione che il ciclo di controllo deve inseguire al tempo t:

// Target position t seconds into a trapezoidal move of `d` mm.
float profilePosition(float t, float d, float vMax, float a) {
  float tAcc = vMax / a;
  float dAcc = vMax * vMax / (2 * a);

  if (2 * dAcc > d) {                      // too short to reach vMax
    float tPeak = sqrtf(d / a);            // triangular profile
    if (t >= 2 * tPeak) return d;
    if (t < tPeak) return 0.5f * a * t * t;
    float left = 2 * tPeak - t;
    return d - 0.5f * a * left * left;
  }

  float tCruise = (d - 2 * dAcc) / vMax;
  float tTotal  = 2 * tAcc + tCruise;
  if (t >= tTotal) return d;
  if (t < tAcc)           return 0.5f * a * t * t;
  if (t < tAcc + tCruise) return dAcc + vMax * (t - tAcc);

  float left = tTotal - t;
  return d - 0.5f * a * left * left;
}

Chiamalo una volta per ogni periodo di controllo e passa il risultato a ciò che chiude il ciclo. AccelStepper fa equivalentemente il lavoro internamente per i motori passo-passo; non ha un’opzione S-curve, quindi un profilo con jerk limitato devi generarlo tu.

Ipotesi e differenze hardware

I profili ipotizzano un asse rigido e non vincolato: nessun attrito, nessun gioco di inversione, nessun allungamento della cinghia e nessun passo perso, e la corrente di picco è disponibile su richiesta. Un vero motore passo-passo o un asse DC ha una coppia che diminuisce con la velocità, una flessibilità che trasforma il jerk in oscillazioni e un driver che satura: è per questo che un profilo a S aiuta un braccio azionato da cinghia, ma è tempo sprecato su una slitta breve e rigida. Anche la frequenza di campionamento è ideale; su un microcontrollore la stabilità del timer è il limite di precisione. Leggi il movimento come il valore di riferimento che il controllore esistente deve inseguire, poi verificalo rispetto alla meccanica che sta effettivamente azionando.

Schema elettrico

Non esiste uno schema unico per questo laboratorio: il profilo è uno strato di aritmetica, non un componente. Si trova tra la sorgente del comando e il ciclo che hai già:

target position  →  PROFILE  →  setpoint  →  controller  →  driver  →  motor
                                                 ↑                        │
                                                 └────── encoder ─────────┘

Il cablaggio è quello di cui il tuo motore ha già bisogno: un driver dimensionato per la corrente di picco richiesta dalla rampa e retroazione dell’encoder se vuoi chiudere il ciclo. Cambia solo ciò che il controllore deve seguire.

La derivazione completa, la confusione tra “jerk” in Marlin e il motivo per cui la profilazione spesso risolve un PID che sembrava regolato male sono in profili di movimento: accelerazione trapezoidale e a S.