Frottement, fermeture de force et le pari des deux contacts

La question que serrer ne résout pas

Voici la panne rencontrée dès la première semaine de travail sur pinces. Vous saisissez un cône, ou un œuf, ou un bouchon de bouteille conique. Les mâchoires se ferment, l’objet est tenu, puis il est éjecté de la pince comme un pépin de pastèque. Vous serrez donc plus fort. Il est éjecté plus vite.

Cette réaction est juste dans l’esprit et fausse en physique, et la raison vaut les vingt minutes pour la comprendre : le fait qu’une prise à deux doigts tienne ne dépend pas de la force de serrage. La force normale s’annule entièrement de la condition. Vérifiable en une ligne d’algèbre, et une fois vérifié, la moitié des mystérieuses pannes de pinces cessent d’être mystérieuses.

Le cône de frottement

Partez d’un contact. Un doigt pousse sur une surface avec une force normale N. Le frottement de Coulomb dit que la force tangentielle supportable avant glissement vaut au plus μN :

|F_t| ≤ μ · N

Cessez de voir cela comme deux nombres et voyez-le comme une forme. La force totale de contact est la somme vectorielle de la partie normale et de la partie tangentielle. Si la partie tangentielle peut valoir jusqu’à μN, alors le vecteur de force totale peut pointer n’importe où dans un cône autour de la normale à la surface, de demi-angle

φ = atan(μ)          the friction angle

Ce cône est tout le frottement de Coulomb, dessiné. Caoutchouc sur pastille imprimée à μ = 0,6 donne φ = 31°. Acier sur PLA sec à μ = 0,25 donne 14°. Une fraise humide ne donne presque rien.

Deux conséquences immédiates. L’angle du cône dépend uniquement des matériaux — pas de la force, pas de l’aire de contact, pas de la masse de l’objet. Et le cône est centré sur la normale à la surface, soit la normale de la face de l’objet, pas la direction où votre mâchoire pousse.

C’est sur ce second point que meurent les prises.

Fermeture de force, pour deux contacts

Une prise tient si les contacts peuvent ensemble résister à tout torseur — toute combinaison de force et couple — que le monde inflige à l’objet. Cela s’appelle la fermeture de force, et pour le cas précis de deux contacts ponctuels avec frottement, cela se réduit à une vérification sur dessin :

Une prise à deux contacts a fermeture de force si et seulement si la ligne joignant les deux points de contact se trouve dans les deux cônes de frottement.

L’intuition est que la seule façon pour deux contacts d’équilibrer leurs couples mutuels est de pousser directement l’un vers l’autre le long de la ligne qui les joint. Si cette ligne est dans le cône, le frottement peut tenir le contact là. Si elle est dehors, le contact ne peut pas fournir de force dans cette direction, et l’objet tourne ou glisse jusqu’à le pouvoir.

Appliquez cela à des mâchoires parallèles sur un objet conique. Les mâchoires sont planes et verticales, donc la ligne joignant les contacts est horizontale. La face de l’objet est inclinée de l’angle de conicité θ, donc chaque normale de surface est aussi inclinée de θ par rapport à l’horizontale. La ligne de prise horizontale se trouve dans un cône de demi-angle φ centré à θ de l’horizontale exactement quand θ < φ :

holds  ⟺  θ < atan(μ)  ⟺  tan(θ) < μ

Il n’y a aucun N dedans. Voilà toute la réponse à « pourquoi serrer n’aide pas ». Serrer monte la force normale, qui monte la force de frottement exactement dans la proportion où elle monte la force de coin qui éjecte l’objet. Le rapport est fixe, et c’est le rapport qui décide.

Vous pouvez l’observer dans le simulateur de pince : chargez le préréglage conique, puis tirez le curseur de fermeture de 0,4 mm au sommet de sa plage. La force de prise passe de 0,40 N à 4,11 N — dix fois plus fort — et le verdict ne bouge pas. Puis laissez la fermeture et tirez μ de 0,45 à 0,55. À 0,53 le cône fait ±27,9° et l’objet s’éjecte encore ; à 0,55 il fait ±28,8°, passe la conicité de 28°, et la prise tient. Deux centièmes de μ, et serrer n’a jamais fait partie de l’argument.

Pourquoi votre prise est plus conique que crue

En lisant tan(θ) < μ, vous pourriez conclure que cela ne compte que pour des pièces évidemment coniques. Cela compte bien plus souvent, car θ est l’inclinaison locale de la surface au pastille de contact, pas la forme globale de l’objet.

• Tout ce qui est rond. Saisissez une balle ou une bouteille hors de son équateur et la face locale est inclinée. Plus la prise s’écarte du centre, plus la conicité est raide, et il existe une bande près du sommet de tout objet courbe où aucune poigne ne tient.
• Angles de dépouille. Les pièces moulées par injection ont 1–3° de dépouille par conception pour sortir du moule. Un gobelet moulé est un cône.
• Tout ce qui est imprimé avec chanfrein. Un chanfrein à 45° exige μ > 1 pour tenir sur cette face, ce qu’aucun de vos matériaux n’a.
• Souplesse déplaçant le contact. Quand un patin mou se déforme, le point de contact effectif migre autour de l’objet — souvent vers le haut, sur une partie plus raide de la surface. Une prise peut démarrer dans le cône et en sortir toute seule.

La version pratique de cette règle : regardez où le patin touche vraiment et demandez ce que fait le plan tangent là. S’il n’est pas à peu près parallèle à la mâchoire, vous comptez sur un frottement peut-être inexistant.

Fermeture de forme : le correctif qui marche toujours

La fermeture de force exige du frottement. La fermeture de forme non — c’est le cas où la seule géométrie empêche tout mouvement, donc la prise tient même à μ = 0. Un arbre déposé dans un vé, une pièce capturée dans une poche assortie, une goupille dans un trou : rien ne peut bouger quelle que soit la glissance.

Vous n’obtenez presque jamais une vraie fermeture de forme à deux doigts. Vous obtenez plutôt une fermeture de forme partielle, et c’est le changement isolé au meilleur rendement sur une pince qui échoue :

Notez ce qui ne figure pas dans cette liste : un plus gros servomoteur. Le simulateur de pince l’établit nettement — le verdict de conicité est inchangé sur toute la plage de force, et un plus gros servomoteur ne fait qu’écraser la pièce.

Monter μ est l’autre levier

Si la géométrie ne peut pas changer, changez les matériaux. C’est bon marché et ça marche, dans des limites :

• Patins TPU ou silicone doublent à peu près μ par rapport au PLA nu. Du TPU imprimé à 0,3 mm de hauteur de couche avec une couche supérieure légèrement sous-extrudée accroche encore plus, car les stries mordent.
• Nettoyez les patins. Poussière et huile de doigts sont les deux plus grandes causes non journalisées de « ça marchait avant ». Une pince qui se dégrade en une semaine a généralement un patin sale, pas un servomoteur fatigué.
• Ne poncez pas les patins lisses. Le lisse maximise l’aire de contact, inutile pour le frottement de Coulomb, et minimise l’accrochage mécanique, qui fait tout.
• Sachez quand μ s’effondre. Humide, huileux, poussiéreux ou givré, et vous pouvez en perdre la moitié sans prévenir. Si l’application connaît l’un de ceux-ci, concevez pour la fermeture de forme et traitez le frottement comme un bonus.

Il y a un plafond. μ au-dessus d’environ 1,0 est rare pour des matériaux secs d’ingénierie, donc l’angle de frottement plafonne vers 45°. Une face plus raide ne sera jamais tenue par pincement, un point final.

Deux contacts sont un pari, trois sont un argument

Tout ci-dessus valait pour deux contacts ponctuels, car c’est ce qu’est une pince parallèle. Il vaut la peine d’expliciter ce qu’on abandonne en choisissant deux.

Avec deux contacts, l’objet est libre de tourner autour de l’axe qui les joint. Rien dans la prise ne s’y oppose sauf le moment de frottement des pastilles — quasi nul pour une pastille vraiment petite. Donc une prise à deux doigts sur un objet long le laisse pivoter et balancer, puis le balancement change la conicité effective aux contacts, puis il part. C’est la panne « il a tourné hors des mâchoires en montant », distincte du glissement comme de l’éjection.

Trois contacts ou plus, répartis autour de l’objet, retirent cette liberté. C’est l’essentiel de pourquoi les pinces industrielles pour pièces gênantes ont trois mors, et pourquoi une pince souple qui enveloppe bat une rigide qui pince sur tout ce qui est irrégulier.

Pour un montage à deux doigts, les atténuations pratiques sont :

1. Saisissez par le centre de masse. Une ligne de prise passant par le centre de masse n’a aucun couple de gravité à résister. Décentrée, vous comptez sur le frottement de pastille.
2. Faites des patins grands et mous pour que le contact soit vraiment une pastille avec un vrai moment de frottement, pas un point.
3. Accélérez doucement. Le pivot est piloté par le couple d’inertie du mouvement — le même terme d’accélération qui domine le dimensionnement de force de prise.
4. Orientez d’abord la pièce si possible, pour que l’axe long coure entre les mâchoires plutôt qu’en travers.

La liste de contrôle

Avant d’imprimer un doigt, répondez à ces quatre :

1. Que fait le plan tangent là où le patin touchera ? S’il est incliné de plus de atan(μ), aucune force de poigne ne tiendra. Changez la géométrie ou le point de contact.
2. Quel μ ai-je vraiment, humide et poussiéreux ? Prenez le nombre pessimiste.
3. La ligne de prise passe-t-elle près du centre de masse ? Sinon, dimensionnez pour le couple, pas seulement le poids.
4. Puis-je obtenir gratuitement une fermeture de forme partielle ? Une rainure en V ne coûte rien à l’impression et retire toute la classe de panne.

Puis dimensionnez la force — un problème complètement séparé avec des murs complètement séparés, traité dans types de pinces robotiques et force de prise, et dans le simulateur de pince où vous pouvez voir le plancher de glissement et le plafond d’écrasement bouger.

Suite

• Types de pinces robotiques et force de prise — le budget de force, une fois la géométrie réglée
• Force, blocage et souplesse de pince à servomoteur — pourquoi un doigt raide ne peut pas viser sa propre fenêtre
• Le simulateur de pince — tirez μ passé la conicité et regardez le cône s’ouvrir
• Force de poussée et traction — le même argument μN, appliqué aux roues plutôt qu’aux doigts